不偏推定量とバイアスゼロ

不偏推定量の定義を説明するとき、「不偏(性)」をもっと押し出してもよいのではという主張です。

不偏推定量は不偏性を持つ推定量、すなわち偏り(バイアス)が0の推定量として定義されます。ある母数の真値を\theta、その不偏推定量\hat \thetaとしたとき、不偏性とバイアスの定義から次式が成り立ちます。

\mathrm{Bias}[\theta, \hat \theta]=\mathrm E[\theta - \hat \theta]=0

\thetaは定数なので\mathrm E[\theta]=\thetaであり、期待値の線形性も踏まえて、

\mathrm{Bias}[\theta, \hat \theta]=\mathrm E[\theta]-\mathrm E[\hat \theta]=\theta-\mathrm E[\hat \theta]=0

となります。右側の等式を移項して、

E[\hat \theta]=\theta

です。よく見かけるのはこちらです。

不偏推定量は期待値が真値と等しい推定量と説明されますが、名前通り考えるなら最初の式も紹介して良いのではと思いました。簡単な式変形で一致するので省かれているだけかもしれませんが。